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円柱を直交させる話

半径の同じ二本の円柱を、その軸が直交するように 交わらせることを考えます。左下の図のようになります。
その時、二本の円柱の共通部分にあたるのが、右下の図です。

グラフィックスは、それぞれマウスでつまんで操作できます。

それでは、半径が r であるとして、この共通部分の物体 X の体積を求める事を考えます。 その為に、半径 r の球 S を内接させます。そして、その球ごと、二本の軸に平行な 平面で切ります。切り口は下の図になります。 X の切り口は正方形、 S の切り口はそれに内接する円になります。
内接円があること、および、切り口に正方形が見えることを見る動画
そのことから、球の体積/Xの体積 = 円の面積/それに外接する正方形の面積 となり、 故に となります。
この体積を求めることは、また、重積分のよい練習問題に なっています。図形の形が把握しにくいのが難点でしたが、このように具体的に 動かしてみることで形が把握できれば、重積分もしやすくなります。

また三本の円柱を直交させることもできます。この場合も内接球がとれ、 二本の時より複雑にはなりますが、体積を求めることができます。

グラフィックスは、それぞれマウスでつまんで操作できます。


今度は交わる角度を変えてみます。下のグラフィックスは、二本の円柱が３０度の角度で 交わる様子と、その共通部分を表しています。この場合にも、共通部分には内接球が存在し、 それを用いて体積を求めることができます。

グラフィックスは、それぞれマウスでつまんで操作できます。

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