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二変数関数のグラフ

x と y に応じて z の値が一つ決まる対応を z = f (x, y) と書いて, x と y を変数とする二変数関数といいます .

例えば, f (x, y) = x^2 + y^2 や  f (x, y) = xy, f (x, y) = x^3 - x - y^2

などが挙げられます .

二変数関数の微積分 (偏微分と重積分) では, 二変数関数のグラフを

扱います .

一変数関数 y = f (x) のグラフは, x 軸上の各点 x = a に対し, f (a)

をそこでの高さとしてプロットすることで 得られます . 言い換えると, x を動かしながら, 平面上の (x, f (x)) に点をプロットすることで

描かれます . 例 : y = x/(1 + x^2)    x を - 3から 3まで 0.1 刻みで動かしたもの   (左) .

ここでは x をとびとびの値で取ったので グラフは点の集まりで

         描画されていますが 実際にはグラフは途切れなくつながっています (右) .

[Graphics:gra/HTMLFiles/index_12.gif]

二変数関数の場合には平面上の点 (x, y) = (a, b) に対し, 高さとして

z 軸の方向に f (a, b) をプロットします . 言い換えると, 三次元空間内に

(a, b, f (a, b)) をプロットします . こうして得られる曲面が二変数関数の

グラフになります .

例 : f (x, y) = x^2 + y^2

       z = x^2 + y^2のグラフ     &nb ... -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1) (代表的な点は (0, 0, 0), (± 1, 0, 0), (0, ± 1, 0), (1, ± 1, 1), (± 1, 1, 1))

      z = x^2 - y^2のグラフ       ( -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1) (代表的な点は (0, 0, 0), (± 1, 0, 1), (0, ± 1, -1), (1, ± 1, 0), (± 1, 1, 0))

      z = xyのグラフ       ( -1 <= x ... 表的な点は (0, 0, 0), (± 1, 0, 0), (0, ± 1, 0), (1, 1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1), (-1, -1, 1))

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